希函数（Hash Function）、默克尔树（Merkle Tree）、张量积（Tensor Product）的运算以及多项式取值的张量积表示。 首先是线性码（Linear Code）。一个消息长度为 k，码字长度为 n 的线性码是一个线性子空间 C∈Fn，使得存在一个从消息到码字的单射，称为编码，记作 EC：Fk→C。任意的对于码字的线性组合仍然是一个码字。两个码字 u，v 的距离即他们的汉明距离，记作△(u,v)。 最短距离为 d=minu,v△(u,v)。这样的码记作[n,k,d]线性码，用 d /n 表示码的相对距离。 其次是抗碰撞哈希函数（Hash Function）与默克尔树（Merkle Tree）。 使用 H:{0,1}2λ→{0,1}λ表示一个哈希函数。默克尔树是一种特殊的数据结构，可以实现对于 2d个消息的承诺，生成一个哈希值 h，在打开任何消息时候需要 d+1 个哈希值。 默克尔树可以被表示为一个深度为 d 的二叉树，其中 L 个消息元素 m1,m2,...,ml分别对应树的叶子。树的每一个内部节点都由它的两个子节点进行哈希计算得出。打开消息 mi时，需要公开从 mi到根节点的路径。 用以下记号来表示： h←Merkle.Commit(m1,...,ml) (mi,πi)←Merkle.Open(m,i) {0,1}←Merkle.Verify(πi,mi,h) 图 1：默克尔树（Merkle Tree） 我们还需要了解张量积（Tensor Product）的运算是怎么做的。数学上，张量是向量和矩阵向高维空间的扩展，是很重要的研究对象，详细的讨论张量超出本文的研究范畴，这里只介绍向量和矩阵的张量积运算。 图 2：向量和矩阵的张量积运算 紧接着，我们需要知道多项式取值的张量积表示。 [GLS+]当中提到，多项式的取值可以被表示成张量积的形式。在这里我们考虑多线性多项式的承诺。 具体来讲，给定一个多项式，他在向量 x0,x1,...,xlogN-1的取值可以写成： 根据多线性的定义，每一个变量的次数是 0 或 1，因此，这里有 N 个单项式和系数，以及 logN 个变量。令 ，其中 i0i1...ilogN-1是 i 的二进制表示。令 w 表示多项式系数， 。同样的，定义 。令 。于是有 X=r0⊗r1。 从而，多项式取值可以被表示成张量积的形式：ϕ(x0,x1,...,xlogN-1)=。 最后，我们来看 FOAKS、Orion[XZS22]当中使用的 Brakedown 的过程。 首先，PC.Commit 将多项式系数 w 划分成 k×k 的矩阵形式，并将其编码（参考“预备知识”中的线性码），记作 C2。之后对于 C2的每一列 C2[:,i]进行承诺建立一个默克尔树，然后再对于每一个列形成的默克尔树树根建立另一个默克尔树，作为最终的承诺。 在取值证明的计算中，需要证明两点，一是近似性（Proximity），二是一致性（Consistency）。近似性保证了承诺的矩阵确实和编码后的一个码字足够接近。一致性保证 y=。 近似性检验：近似性检验由两步组成。首先，验证者发送一个随机向量 0 给证明者，证明者计算 Y0与 C1的内积，也就是以 Y0的分量为系数对 C1的行计算线性组合。由于线性码的性质，Cy0是 Yy0的码字。之后，证明者证明 Cy0确实是从被承诺的码字计算出的。为了证明这一点，验证者随机选取 t 列，证明者打开对应的列并提供默克尔树证明。验证者检查这些列和 Y0的内积和 Cy0当中对应位置相等。[BCG20]当中证明如果使用的线性码有常数的相对距离，那么被承诺的矩阵就以压倒性的概率与一个码字接近（压倒性的概率是指，命题的否命题成立的概率是可忽略的）。 一致性检验：一致性检验和近似性检验的流程完全类似。不同之处在于，不使用随机向量 Y0而是直接使用 r0来完成线性组合的部分。类似的，c1也是消息 y1的一个线性码，并且有 ϕ(x)=。[BCG20]当中证明，通过一致性检验，如果被承诺的矩阵与一个码字接近，则以压倒性概率成立 y=ϕ(x)。 以伪代码形式，我们给出 Brakedown 协议的流程： Public input：The evaluation point X，parsed as a tensor product X=r0⊗r1; Private input：The polynomial ϕ ，the coefficient of is denoted by w. Let C be the [n,k,d]-limear code，EC：FkFn be the encoding function，N=k×k. If N is not a perfect square，we can pad it to the next perfect square. We use a python style notationmat[:,i] to select the i-th column of a matrix mat。 function PC. Commit(ϕ)： Parse w as a k×k matrix. The prover locally computes the tensor code encoding C1，C2 ，C1 is a k×n matrix，C2 is a n×n matrix. for i∈ [n] do Compute the Merkle tree root Roott=Merkle.Commit(C2[:,i]) Compute a Merkle tree root R=Merkle.Commit([Root0,......Rootn-1]),and output R as the commitment. function PC. Prover(ϕ, X, R) The prover receives a random vector Y0∈Fk from the verifier Proximity Consistency Prover sends C1,y1,C0,y0 to the verifier. Verifier randomly samples t[n] as an array Î and send it to prover for idx∈Î do Prover sends C1 [:,idx] and the Merkle tree proof of Rootidx for C2 [:,idx] under R to verifier function PC. VERIFY_EVAL(πX,X,y=ϕ(X),R) Proximity: ∀idx∈Î,CY0[idx]==and EC(Yy0)==CY0 Consistency:∀idx∈Î,C1[idx]==and EC(Y1)==C1 y== ∀idx∈Î, EC(C1[:,idx]) is consistent with ROOTidx, and ROOTidx’s Merkle tree proof is valid. Output accept if all conditions above holds. Otherwise output reject. 结语：多项式承诺是一类非常重要的密码学协议，被广泛的应用在许多密码学系统当中，尤其是零知识证明系统。本文详细介绍了多项式承诺 Brakedown 协议以及和其相关的数学知识，作为 FOAKS 很重要的底层组件，Brakedown 对 FOAKS 的实例化性能的提升起到了重要作用。 参考文献 [GLS+]:Alexander Golovnev, Jonathan Lee, Srinath Setty, Justin Thaler, and Riad S. Wahby. Brakedown: Linear-time and post-quantum snarks for r1cs. Cryptology ePrint Archive. https://ia.cr/2021/1043. [XZS22]:Xie T, Zhang Y, Song D. Orion: Zero knowledge proof with linear prover time[C]//Advances in Cryptology–CRYPTO 2022: 42nd Annual International Cryptology Conference, CRYPTO 2022, Santa Barbara, CA, USA, August 15–18, 2022, Proceedings, Part IV. Cham: Springer Nature Switzerland, 2022: 299-328.https://eprint.iacr.org/2022/1010 [BCG20]:Bootle, Jonathan, Alessandro Chiesa, and Jens Groth. "Linear-time arguments with sublinear verification from tensor codes." Theory of Cryptography: 18th International Conference, TCC 2020, Durham, NC, USA, November 16–19, 2020, Proceedings, Part II 18. Springer International Publishing, 2020. Justin Thaler from A16zcrypto, Measuring SNARK performance: Frontends, backends, and the future https://a16zcrypto.com/measuring-snark-performance-frontends-backends-and-the-future/ 张量积的介绍：https://blog.csdn.net/chenxy_bwave/article/details/127288938 来源：金色财经lg...
北美站
